Na teoria algébrica dos números, uma soma de Gauss ou soma gaussiana é um tipo particular de soma finita de raízes da unidade, tipicamente
G ( χ ) := G ( χ , ψ ) = ∑ χ ( r ) ⋅ ψ ( r )
{\displaystyle G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)}
onde a soma é feita sobre os elementos
r
{\displaystyle r}
de algum anel comutativo finito
R
{\displaystyle R}
,
ψ
{\displaystyle \psi }
é um homomorfismo de grupos do grupo aditivo
R
+
{\displaystyle R^{+}}
no círculo unitário, e
χ
{\displaystyle \chi }
é um homomorfismo de grupos do grupo das unidades
R
×
{\displaystyle R^{\times }}
no círculo unitário, estendido aos elementos
r
{\displaystyle r}
que não são unidades, onde assume o valor 0. As somas de Gauss são os análogos para corpos finitos da função gama. Tais somas são onipresentes na teoria dos números. Elas ocorrem, por exemplo, nas equações funcionais das funções L de Dirichlet, onde para um caráter de Dirichlet
χ
{\displaystyle \chi }
a equação relacionando
L ( s , χ )
{\displaystyle L(s,\chi )}
e
L ( 1 − s ,
χ ̄
)
{\displaystyle L(1-s,{\bar {\chi }})}
(onde
χ ̄
{\displaystyle {\bar {\chi }}}
é o complexo conjugado de
χ
{\displaystyle \chi }
) envolve um fator
G ( χ )
|
G ( χ )
|
.
{\displaystyle {\frac {G(\chi )}{|G(\chi )|}}.}
História O caso originalmente considerado por Carl Friedrich Gauss foi a soma de Gauss quadrática, sendo
R
{\displaystyle R}
o corpo de resíduos módulo um número primo
p
{\displaystyle p}
, e
χ
{\displaystyle \chi }
o símbolo de Legendre. Neste caso, Gauss provou que
G ( χ ) =
p
1
/
2
{\displaystyle G(\chi )=p^{1/2}}
ou
i
p
1
/
2
{\displaystyle ip^{1/2}}
para
p
{\displaystyle p}
congruente a 1 ou 3 módulo 4 respectivamente (a soma de Gauss quadrática também pode ser avaliada por análise de Fourier, bem como por integração de contorno). Uma forma alternativa para esta soma de Gauss é
∑
e
2 π i
r
2
/
p
{\displaystyle \sum e^{2\pi ir^{2}/p}}
. As somas de Gauss quadráticas estão intimamente conectadas com a teoria das funções teta. A teoria geral das somas de Gauss foi desenvolvida no início do século XIX, com o uso de somas de Jacobi e a sua decomposição em primos em corpos ciclotômicos. As somas de Gauss sobre um anel de resíduos de inteiros módulo
N
{\displaystyle N}
são combinações lineares de somas estreitamente relacionadas chamadas de períodos de Gauss. O valor absoluto das somas de Gauss é geralmente encontrado como uma aplicação do teorema de Plancherel em grupos finitos. No caso em que
R
{\displaystyle R}
é um corpo de
p
{\displaystyle p}
elementos e
χ
{\displaystyle \chi }
não é trivial, o valor absoluto é
p
1
/
2
{\displaystyle p^{1/2}}
. A determinação do valor exato de somas de Gauss gerais, seguindo o resultado de Gauss para o caso quadrático, é uma questão de longa data. Para alguns casos, veja soma de Kummer.
Propriedades das somas de Gauss de caráteres de Dirichlet A soma de Gauss de um caráter de Dirichlet módulo
N
{\displaystyle N}
é
G ( χ ) =
∑
a = 1
N
χ ( a )
e
2 π i a
/
N
.
{\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.}
Se
χ
{\displaystyle \chi }
for também primitivo, então
|
G ( χ )
|
=
N
,
{\displaystyle |G(\chi )|={\sqrt {N}},}
em particular, ela é não-nula. Mais genericamente, se
N
0
{\displaystyle N_{0}}
é o condutor de
χ
{\displaystyle \chi }
e
χ
0
{\displaystyle \chi _{0}}
é o caráter de Dirichlet primitivo módulo
N
0
{\displaystyle N_{0}}
que induz
χ
{\displaystyle \chi }
, então a soma de Gauss de
χ
{\displaystyle \chi }
está relacionada com a de
χ
0
{\displaystyle \chi _{0}}
por
G ( χ ) = μ
(
N
N
0
)
χ
0
(
N
N
0
)
G
(
χ
0
)
{\displaystyle G(\chi )=\mu \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\chi _{0}\left({\frac {N}{N_{0}}}\right)G\left(\chi _{0}\right)}
onde
μ
{\displaystyle \mu }
é a função de Möbius. Consequentemente,
G ( χ )
{\displaystyle G(\chi )}
é não-nula precisamente quando
N
/
N
0
{\displaystyle N/N_{0}}
é livre de quadrados e relativamente primo a
N
0
{\displaystyle N_{0}}
. Outras relações entre
G ( χ )
{\displaystyle G(\chi )}
e as somas de Gauss de outros caráteres incluem
G (
χ ̄
) = χ ( − 1 )
G ( χ )
̄
,
{\displaystyle G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}},}
onde
χ ̄
{\displaystyle {\overline {\chi }}}
é o caráter de Dirichlet complexo conjugado, e se
χ ′
{\displaystyle \chi '}
é um caráter de Dirichlet módulo
N ′
{\displaystyle N'}
de tal modo que
N
{\displaystyle N}
e
N ′
{\displaystyle N'}
são relativamente primos, então
G
(
χ
χ
′
)
= χ
(
N
′
)
χ
′
( N ) G ( χ ) G
(
χ
′
)
.
{\displaystyle G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)=\chi \left(N^{\prime }\right)\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right).}
A relação entre
G ( χ
χ ′
)
{\displaystyle G(\chi \chi ')}
,
G ( χ )
{\displaystyle G(\chi )}
e
G (
χ ′
)
{\displaystyle G(\chi ')}
quando
χ
{\displaystyle \chi }
e
χ ′
{\displaystyle \chi '}
são do mesmo módulo (e
χ
χ ′
{\displaystyle \chi \chi '}
é primitivo) é mensurada pela soma de Jacobi
J ( χ ,
χ ′
)
{\displaystyle J(\chi ,\chi ')}
. Especificamente,
G
(
χ
χ
′
)
=
G ( χ ) G
(
χ
′
)
J
(
χ ,
χ
′
)
.
{\displaystyle G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)={\frac {G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right)}{J\left(\chi ,\chi ^{\prime }\right)}}.}
Mais propriedades As somas de Gauss podem ser utilizadas para provar a reciprocidade quadrática, a reciprocidade cúbica e a reciprocidade quártica. As somas de Gauss podem ser utilizadas para calcular o número de soluções de equações polinomiais sobre corpos finitos, e desta forma podem ser usadas para calcular certas funções zeta.
Ver também Soma de Gauss quadrática Soma de Gauss elíptica Soma de Jacobi Soma de Kummer Soma de Kloosterman Período de Gauss Relação de Hasse-Davenport Teorema de Chowla-Mordell Teorema de Stickelberger
Referências
Bibliografia Berndt, B. C.; Evans, R. J.; Williams, K. S. (1998). Gauss and Jacobi Sums. Col: Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts. [S.l.]: Wiley. ISBN 0-471-12807-4 Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory. Col: Graduate Texts in Mathematics. 84 2a ed. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97329-X Seção 3.4 de Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic number theory. Col: American Mathematical Society Colloquium Publications. 53. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3633-0
